作者：石川

摘要：本文首先介紹了尾部相關(guān)性，并以此引出尾部風(fēng)險平價的概念。從風(fēng)險的角度來說，一個好的投資組合中應(yīng)該同時擁有 convergent 和 divergent risk taking 的策略。

1 引言

年底適合聊聊風(fēng)險。

在《艱難時刻需要堅韌信仰》這篇文章的最后，我們提到了同一大類資產(chǎn)中的不同策略，盡管它們平時的相關(guān)性可能很低，但是當(dāng)極端事件出現(xiàn)時，它們的相關(guān)性會驟然上升，同時下跌造成虧損，無法起到分散風(fēng)險的作用。不同策略在極端情況下的相關(guān)性稱為尾部相關(guān)性（tail correlation），它是進(jìn)行資產(chǎn)組合配置時需要考慮的關(guān)鍵因素之一。

本文將圍繞尾部風(fēng)險展開討論。下文首先介紹尾部相關(guān)性，之后引出尾部風(fēng)險平價（tail risk parity）的概念，它被認(rèn)為比流行的風(fēng)險平價（risk parity）更能抗風(fēng)險。最后會介紹兩個平時提的較少的兩個風(fēng)險概念 —— convergent and divergent risk taking。（抱歉，實在找不出來特別合適的中文翻譯，但我保證會用中文大白話解釋清楚。）先來看看尾部相關(guān)性。

2 尾部相關(guān)性

尾部相關(guān)性衡量的是不同資產(chǎn)出現(xiàn)極端損失時的相關(guān)性。為了計算它，最簡單的辦法可以采用條件概率計算條件相關(guān)性。但是，業(yè)界主流的做法是通過 VaR（Value at Risk）或者 ES（Expected Shortfall）來反推尾部相關(guān)性，這樣得到的結(jié)果稱為 VaR-implied tail correlation 或 ES-implied tail correlation。本文介紹后面這種方法。Liu (2016) 使用 Campbell et al. (2002) 的模型，假設(shè)資產(chǎn) i 的收益率 r_i 分布滿足如下形式：

其中 μ_i、σ_i 分別為均值和標(biāo)準(zhǔn)差，Z_i 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。由上述分布模型以及 VaR 的定義可知，資產(chǎn) i 的 α 分位數(shù)的 VaR 為：

假設(shè)某投資組合 P 由兩個資產(chǎn)按照權(quán)重 w_1 和 w_2 構(gòu)成，則根據(jù)定義，投資組合 P 的收益率的標(biāo)準(zhǔn)差滿足：

將 VaR 定義中右側(cè)的 σ_i 代入上式，并利用 VaR(Z_1) = VaR(Z_2) = VaR(Z_P) 化簡，最終得到兩個資產(chǎn)間的 VaR-implied correlation：

除了上述這種計算方法，業(yè)界（Cotter and Longin 2006）還使用另一種更簡化的方法：

這種方法直接使用資產(chǎn)和投資組合的 VaR 進(jìn)行計算，并不對 r 的分布做正態(tài)假設(shè)。它和前一種方法的區(qū)別就是計算時是否使用 μ_i。由于 μ_i 的取值較 VaR 通常小一個數(shù)量級，因此兩種方法的計算結(jié)果非常接近。值得一提的是，當(dāng) VaR 被用來刻畫尾部風(fēng)險時，其常被人詬病的是它僅僅是一個 α 分位數(shù)的取值，衡量的是在給定的概率下?lián)p失的最小值、不能準(zhǔn)確刻畫收益分布的左側(cè)肥尾。為了解決這個問題，人們提出了 Expected Shortfall（ES，也稱作 Expected Tail Loss）的概念，它是 α 分位數(shù)左側(cè)尾部風(fēng)險的均值，相較于 VaR 能夠更好的刻畫尾部風(fēng)險。

將上述 VaR-implied correlation 根據(jù) ES 的定義做一步擴(kuò)展得到 ES-implied correlation：

?

舉個例子。讓我們來看看滬深 300 指數(shù)和標(biāo)普 500 指數(shù)的相關(guān)性是否隨尾部風(fēng)險遞增。假設(shè)使用周頻數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的跨度從 2005 年 1 月到 2018 年 11 月。上述兩種資產(chǎn)在這段時期內(nèi)周頻收益率的相關(guān)系數(shù)為 0.16。假設(shè)按照 w_1 = w_2 = 0.5 的權(quán)重配置它們，得到投資組合，以此計算它們之間的 ES-implied correlation。下圖展示了這兩種資產(chǎn)和投資組合在不同 α 分位數(shù)下的 ES。毫無意外地，隨著 α 的減?。ù碇膊渴录絹碓綐O端），ES 的虧損幅度也逐漸增大。

下圖是這兩種資產(chǎn)的 ES-implied correlation。隨著尾部事件越來越極端，二者的尾部 correlation 也逐漸增大，且遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于整個回測期內(nèi)的 0.16。當(dāng) α = 1% 時，二者的相關(guān)系數(shù)高達(dá) 0.333；當(dāng) α = 0.5% 時，它們的相關(guān)系數(shù)進(jìn)一步增大到 0.445。當(dāng)金融危機(jī)出現(xiàn)的時候，誰都難以獨善其身。

3 尾部風(fēng)險評價

對于大部分常見的資產(chǎn)或者投資策略，它們的收益分布都有如下的形狀 —— 均值為正，但是左側(cè)存在著極端事件造成的巨大虧損，從而造成分布的負(fù)偏。這個分布通常稱為 Taleb Distribution，以 Nassim Nicholas Taleb 命名；他以黑天鵝一書聞名于世（左側(cè)的極端事件則代表了黑天鵝）。

不同資產(chǎn)的尾部相關(guān)性遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于它們平時的相關(guān)性說明這些資產(chǎn)的左側(cè)肥尾往往同時出現(xiàn)（比如 2008 年的金融危機(jī)），因此在市場出現(xiàn)危機(jī)時無法有效的分散風(fēng)險。由于這個原因，人們在配置不同的資產(chǎn)或者投資策略時提出了尾部風(fēng)險平價（tail risk parity）的概念。它是風(fēng)險平價的一個延伸（見《你真的搞懂了風(fēng)險平價嗎？》 —— 我發(fā)現(xiàn)這篇文章是 2017 年 12 月 21 日寫的，也是年底）。尾部風(fēng)險平價的目標(biāo)是讓不同資產(chǎn)或策略對投資組合的尾部風(fēng)險貢獻(xiàn)相同。它更多的是一種理念，而具體實現(xiàn)方法則因人而異。比如，如果直接把風(fēng)險平價的概念應(yīng)用到尾部風(fēng)險平價中，我們可以讓不同資產(chǎn)的權(quán)重 w_i 滿足（使用 ES 度量尾部風(fēng)險）：

舉個例子。假設(shè)有三種資產(chǎn)，它們的收益風(fēng)險特性如下：

按照風(fēng)險平價和尾部風(fēng)險平價，這三種資產(chǎn)在投資組合中的權(quán)重分別為：

根據(jù)這兩種方法配置的投資組合的風(fēng)險收益特征為：

上述結(jié)果說明，尾部風(fēng)險平價以犧牲部分收益為代價換取了投資組合更低的尾部風(fēng)險和波動率。在這個例子中，兩種配置方法的夏普率相同，但從衡量尾部風(fēng)險控制的指標(biāo) μ/ES 來看，尾部風(fēng)險平價無疑更有優(yōu)勢。再來看看另一種尾部風(fēng)險平價的實現(xiàn)方法。下面這個投資組合在 TLT（US long government bond ETF）和 SPY（S&P 500 Index ETF）之間配置。它使用資產(chǎn)的最大回撤作為評價尾部風(fēng)險的指標(biāo)，要求二者對投資組合的最大回撤貢獻(xiàn)相似。最終，它以 70% 和 30% 的比例將資金分配于 TLT 和 SPY 之中。

當(dāng)不同資產(chǎn)（或策略）的尾部風(fēng)險在時間上不重疊時（即發(fā)生在不同的時期），尾部風(fēng)險平價則可以發(fā)揮出最大的威力。這也體現(xiàn)了大類資產(chǎn)配置的重要性。

4 Convergent vs Divergent Risk Taking

本小節(jié)來介紹兩個平時人們可能聽的比較少的概念 —— convergent and divergent risk taking。

在那之前，先讓我們說說圣杯分布。上一小節(jié)介紹了 Taleb 分布。如果有一種資產(chǎn)或者投資策略，它的收益分布滿足期望為正、但肥尾在右側(cè) —— 即“風(fēng)險有限、收益無限”，我們則稱它的分布滿足圣杯分布（Holy Grail distribution）。

每個人都希望找到這樣的收益分布，它能夠和常見的 Taleb 分布很好的對沖、分散風(fēng)險。在極端事件給傳統(tǒng)資產(chǎn)帶來巨額虧損時，這類策略往往有很好的收益。什么樣的策略具備這種分布呢？這需要從策略暴露的風(fēng)險說起，從而引出我們的主角 —— convergent and divergent risk taking。這兩個術(shù)語經(jīng)常出現(xiàn)在管理期貨中。任何投資策略想要賺錢，都需要承擔(dān)一定的風(fēng)險。而策略承擔(dān)什么樣的風(fēng)險就決定了它的收益分布具備何種的特征。風(fēng)險可以被分為 convergent risks 和 divergent risks 兩大類，因此策略也可以被視為 convergent risk taking 和 divergent risk taking 兩大類。

當(dāng)我們構(gòu)建 convergent risk taking 策略的時候，我們會根據(jù)金融學(xué)或者經(jīng)濟(jì)學(xué)對市場或者投資品的走勢有一個先驗信仰，并以此為判斷做出投資決策。以 long only 的股票投資為例，我們相信股市是經(jīng)濟(jì)的晴雨表，而長期來看經(jīng)濟(jì)會增長、股票則會給我們帶來 risk premium，因此愿意承擔(dān)其短期波動（可能很大）帶來的風(fēng)險。這樣的策略就是 convergent risk taking 策略。另一方面，在構(gòu)建 divergent risk taking 策略時，人們假設(shè)投資品未來的走勢是未知的、不使用任何先驗信仰來輔助判斷投資品會漲還是會跌。如果過去投資品一直漲，但是最近開始跌了，那么這種類型的策略不會以該投資品過去的走勢為先驗從而認(rèn)為它還會繼續(xù)漲，而是會順應(yīng)當(dāng)下的趨勢而認(rèn)為它還會繼續(xù)跌。

在上面提到的兩種不同風(fēng)險類型的策略中，股市中的價值投資無疑是 convergent risk taking 的代表。這類策略通過深度行業(yè)研究挖掘上市公司的內(nèi)在價值，當(dāng)價格低于價值時則買入且越低（跌）越買，耐心的等待其價格向價值回歸、無視短期的波動，這是這類策略愿意且主動承擔(dān)的風(fēng)險。常見于 CTA 中的趨勢追蹤策略或者股市中的動量策略無疑是 divergent risk taking 的代表。這類策略對投資品的內(nèi)在價值不做任何假設(shè)，僅僅是嚴(yán)格依據(jù)價格的走勢進(jìn)行交易：價格上漲了做多、價格下跌時做空；當(dāng)盈利時會逐漸加倉，當(dāng)虧損時會及時清倉。Divergent risk taking 策略的收益特征滿足了圣杯分布的特性。這就是為什么趨勢追蹤策略能夠長盛不衰的原因。在趨勢追蹤領(lǐng)域不乏 Winton Group 和 Aspect Capital 這樣的杰出代表。

5 結(jié)語

2013 年，Asness、Moskowitz 以及 Pedersen 在 Journal of Finance 上發(fā)表了一篇影響深遠(yuǎn)的文章，題為 Value and Momentum Everywhere（Asness et al. 2013）。通過上文的描述，不難看出 Value 和 Momentum 恰恰代表了兩大類 risk taking 策略，從風(fēng)險的角度，它們完美的互補(bǔ)。有必要指出的是，圣杯分布是非常美好的，而獲得美好的東西注定是十分困難的。趨勢策略本身是非常反人性的（見《海龜交易法則：逆人性投資》）。趨勢策略最困難的地方在于在趨勢中拿的住單子，讓利潤奔跑（只有這樣才能實現(xiàn)收益率分布的右尾）。由于認(rèn)知偏差中造成的對于確定性低收益的過度偏愛，人們總是傾向于早早平掉盈利的單子。市場中有句老話說的是趨勢策略最賺錢的時候一定是交易者最難受的時候。只有克服人性的種種錯誤，才能真正享受到趨勢策略帶來的圣杯分布。

本文從尾部相關(guān)性出發(fā)介紹了如何基于 VaR 或者 ES 計算在極端事件發(fā)生時資產(chǎn)之間的相關(guān)性。大量的實證表明，同類甚至是跨大類的資產(chǎn)在市場發(fā)生危機(jī)的時候相關(guān)性都會迅速躥升，導(dǎo)致投資組合的巨大虧損。為了減輕這個問題，尾部風(fēng)險平價的資產(chǎn)配置方法越來越被投資者認(rèn)可。該方法以犧牲一定的收益換來危機(jī)時更低的虧損，從而提升投資組合的風(fēng)險收益特征。本文的最后指出，從風(fēng)險的角度來說，一個好的投資組合中應(yīng)該同時擁有 convergent 和 divergent risk taking 的策略。這兩個概念其實并不是什么“玄幻”的東西，它們在生活中也很常見。比如在社會交往方面，有的人更喜歡只和少數(shù)幾個交心的朋友互動、非常珍視小范圍的朋友圈，這屬于 convergent 行為；而另一些人則更加 social，喜歡和各種各樣的人打交道、交朋友、堅信人生的下一個 big opportunity 就來自某個新朋友，這就屬于 divergent 行為。這兩種行為并無對錯、也各有優(yōu)缺點；將它們結(jié)合起來往往會實現(xiàn)雙贏。希望本文的介紹能帶給你一些啟發(fā)，更加科學(xué)的分配投資組合暴露的風(fēng)險。

參考文獻(xiàn)

Asness, C. S., T. J. Moskowitz, and L. H. Pedersen (2013). Value and Momentum Everywhere.?Journal of Finance 68(3), 929 – 985.

Campbell, R., K. Koedijk, and P. Kofman (2002). Increased correlation in bear markets. Financial Analysts Journal 58(1), 87 – 94.

Cotter, J. and F. Longin (2006). Implied correlation from VaR. MPRA paper No. 3506, University College Dublin.

Liu, J. (2016). A new tail-based correlation. Working paper, McGill University.

免責(zé)聲明：入市有風(fēng)險，投資需謹(jǐn)慎。在任何情況下，本文的內(nèi)容、信息及數(shù)據(jù)或所表述的意見并不構(gòu)成對任何人的投資建議。在任何情況下，本文作者及所屬機(jī)構(gòu)不對任何人因使用本文的任何內(nèi)容所引致的任何損失負(fù)任何責(zé)任。除特別說明外，文中圖表均直接或間接來自于相應(yīng)論文，僅為介紹之用，版權(quán)歸原作者和期刊所有。