作者：石川

摘要：Han et al. (2016) 通過截面回歸將美股上的短期反轉(zhuǎn)、中期動量和長期反轉(zhuǎn)合并成一個新的趨勢因子。該因子能獲得顯著的超額收益，為美股的 asset pricing 提供了新的思路。

1 引言

熟悉美股 asset pricing 或 factor investing 的小伙伴都知道，美股在不同的時間尺度上表現(xiàn)出了動量或者反轉(zhuǎn)效應。比如，在研究動量因子時，常見的做法是按照月頻使用 t – 12 到 t – 1 之間的收益率作為動量因子，這說明在一年這個時間尺度上存在動量，而之所以刨去最近一個月是因為未來收益率往往和最近一個月呈現(xiàn)反轉(zhuǎn)。此外，DeBondt and Thaler (1985) 指出美股在 3 ~ 5 年的時間尺度上存在反轉(zhuǎn)。

鑒于上述現(xiàn)象，一個自然的想法是針對不同的周期構(gòu)建三個因子 —— 短周期的反轉(zhuǎn)因子、中周期的動量因子、以及超長周期的反轉(zhuǎn)因子，然后把投資組合適當?shù)谋┞对谶@些不同的因子中。如果這三個級別的不同現(xiàn)象都能帶來 risk premium，則長期來看暴露在它們之上會有好的投資回報。

然而，除此之外，是否有更好的辦法把不同級別的動量或者反轉(zhuǎn)因子綜合到一起，構(gòu)建一個跨越不同時間尺度的趨勢因子呢？2016 年，一篇發(fā)表于頂刊 Journal of Financial Economics 的文章（Han et al. 2016）給出了肯定的答案。這篇文章中采用的通過截面回歸來構(gòu)建趨勢因子的思路，以及為了檢驗該因子而使用的很多統(tǒng)計手段都值得借鑒。

2 趨勢因子

為了構(gòu)建趨勢因子，首先要選擇具體的方法來計算不同時間尺度下的動量、反轉(zhuǎn)。為此，Han et al. (2016) 采用的是 Moving Average（MA，移動平均）。移動平均是一個被技術分析廣泛采用的簡單指標，許多實盤交易結(jié)果指出 MA 對于未來的收益率有一定的預測性。在理論方面，Han et al. (2016) 受到 Wang (1993) 的啟發(fā)，使用一個簡單的隨機過程模型對于 MA 在收益率上面的預測性進行了分析。此外，Zhu and Zhou (2009) 從資產(chǎn)配置的角度研究了移動平均的價值。理論分析和實證數(shù)據(jù)均顯示移動平均在交易中的作用。

在 Han et al. (2016) 研究的實證中，計算趨勢因子的頻率是月頻，回測期為 1926 年 1 月至 2014 年 12 月（數(shù)據(jù)來自 CRSP 并采用了學術界常見的數(shù)據(jù)處理方法）。為了計算趨勢因子，首先在每個月 t 的最后一個交易日計算每支股票（用 j 表示）在不同時間尺度 L 的移動平均：

其中 P_{j, t-L+i} 為股票 j 在第 t-L+i 個月最后一個交易日的價格（上述表達式和 Han et al. 2016 中的有些差異；我在不影響理解的前提下簡化了表達式）?？紤]到不同股票價格的量級存在巨大的差別，計算的下一步是使用最新的價格 P_{j, t} 對上述移動平均進行標準化：

在有了不同時間尺度（lag L）的移動平均之后，Han et al. (2016) 將它們視作不同級別的趨勢（可能是動量、也可能是反轉(zhuǎn)）信號，在每期使用股票最新的 MA 指標和下一期的收益率進行截面回歸，得到這些移動均線因子的收益率：

其中，r_{j,t} 為個股 j 在 t 期的收益率，L_i 為第 i 個計算移動平均的時間尺度。通過截面回歸就可以得到這些移動平均因子的收益率 β_{i,t}。再具體計算時，計算均線的時間尺度 L_i 的取值為 3、5、10、20、50、100、200、400、600、800 以及 1000 個交易日，它們分別對應的時間尺度為日頻、周頻、月頻、季度、一年、兩年、三年以及四年。一旦在不同 t 上使用截面回歸得到了 β_{i,t}，就可以在時序上取均值來預測下一個選股窗口內(nèi)（月頻）各均線因子的預期收益率。為此，作者采用了使用過去 12 個月的 β_{i,t} 來計算下個月的預期收益率：

最終，使用對 t + 1 的均線預期收益率 E_t[β_{i,t+1}] 和個股 j 在 t 期的最新均線指標取值就可以計算出每支股票在 t + 1 的收益率預測，并以此對股票排序構(gòu)建趨勢因子（在該計算中并不需要用到截面回歸的截距項，因為該項對所有個股都一樣，不改變因子的單調(diào)性）：

簡單梳理一下。上述計算趨勢因子的過程首先找出了每支股票在不同時間尺度下的移動平均；將這些移動平均視為因子并通過截面回歸得到每期因子收益率；通過滾動窗口計算出每個移動平均因子在這段時間內(nèi)的收益率均值，從而動態(tài)的捕捉了在不同的歷史時期，哪種級別的移動均線對于預測下一期的股票收益率最有效（β 的符號決定了方向 —— 動量或者反轉(zhuǎn)，β 的大小決定了預測的強弱）；最終使用移動均線因子收益率和最新的因子取值計算出個股下一期收益率的預測，以此對個股排序。具體的，在每個月末將股票按照預期收益率從大到小排序，將排名前 1/5 的股票等權構(gòu)建多頭組合，將排名后 1/5 的股票等權構(gòu)建空頭組合。多空組合的收益率之差就是該趨勢因子。和我們熟悉的 HML、SMB 一樣，趨勢因子本身也是一個多空投資組合的收益率。下圖展示了回測期內(nèi)趨勢因子（Trend）和短期反轉(zhuǎn)（SREV）、中期動量（MOM）以及長期反轉(zhuǎn)（LREV）以及 Fama-French 三因子（Fama and French 1993）的收益。從均值（以及對應的 t-statistic）來看，趨勢因子無疑優(yōu)勢明顯。

接下來就來比較一下這個新的趨勢因子和傳統(tǒng)的動量、反轉(zhuǎn)因子。

3 趨勢因子 vs 傳統(tǒng)動量、反轉(zhuǎn)因子

盡管動量因子在美股上占有舉足輕重的地位，但它經(jīng)常被人詬病的是該因子在市場從熊市反彈時的不良表現(xiàn)。在這些時期，動量因子的空頭一方總會出現(xiàn)報復性反彈，收益率遠超其多頭一方，造成動量因子巨大的損失。這個現(xiàn)象被稱為 momentum crashes（Daniel and Moskowitz 2016）。Han et al. (2016) 的經(jīng)驗結(jié)果顯示，新的趨勢因子在 momentum crashes 時期往往能取得非常優(yōu)異的收益：

分析其原因，是因為新的趨勢因子和傳統(tǒng)的動量因子的相關性很低。由于該方法通過滾動回歸動態(tài)的暴露在不同級別的移動均線指標上，因此可以想見在回測期內(nèi)，它更多暴露在長、短期反轉(zhuǎn)因子上，而非中期動量因子上。下圖（Panel B）展示了趨勢因子和傳統(tǒng)因子的相關性，說明了這一點。

然而，在上面的結(jié)果中，最令我驚訝的是趨勢因子非常小的最大回撤（max drawdown，MDD）—— 其最大回撤只有 20%（too good to be true），遠遠優(yōu)于其他三個動量、反轉(zhuǎn)因子。這說明在市場下行的時候，趨勢因子中空頭一方非常給力。當然，在實際投資中，考慮到交易的成本和各種做空的限制，上述結(jié)果會打一定的折扣。Han et al. (2016) 也客觀的指出，為了科學評價該趨勢因子在實際投資中的價值仍需要更多的研究工作。為了定量比較新的趨勢因子和傳統(tǒng)的動量、反轉(zhuǎn)因子，Han et al. (2016) 采用了學術界常用的 mean-variance spanning tests（Huberman and Kandel 1987）。直觀的說，該方法考察 K 個已知資產(chǎn)構(gòu)建的 mean-variance 有效前沿能否包含某個新資產(chǎn)（或者投資組合）。在數(shù)學上，考慮新的趨勢因子和 SREV、MOM 以及 LREV 三因子的回歸模型如下：

該檢驗的 null hypothesis 是：

Kan and Zhou (2012) 指出 mean-variance spanning tests 有六個不同的版本。下表考慮了全部六個版本，并考慮了不同的回測期 —— 全部回測期、衰退期以及金融危機。所有版本均顯著的拒絕原假設，說明新的趨勢因子存在傳統(tǒng)動量、反轉(zhuǎn)因子無法解釋的股票截面預期收益差異。這意味著，僅僅通過將投資組合暴露于傳統(tǒng)的 SREV、MOM 以及 LREV 三因子無法取得該趨勢因子帶來的超額收益。

最后來看看趨勢因子能否被 CAPM 模型以及 Fama-French 三因子模型解釋 —— 即考察它是否有 CAPM-α 和三因子-α。除了考察趨勢因子自身之外，Han et al. (2016) 還考慮了根據(jù)預期收益率高低將股票分成五檔構(gòu)建的投資組合，結(jié)果如下表所示。

從結(jié)果來看，對于趨勢因子，它存在無法被傳統(tǒng) CAPM 或 Fama-French 三因子解釋的超額收益。從因子暴露來看，當使用三因子模型時，它在 SMB 和 HML 上的暴露在統(tǒng)計上非常不顯著。面對如此超額收益，Han et al. (2016) 卻指出，他們并不認為該趨勢因子一定是一個異象（anomaly）。作者認為趨勢背后也許存在對應的風險，而趨勢獲得的超額收益和風險補償有關。有效市場假說（EMH）之父 Eugene Fama 指出，market efficiency 已經(jīng)成為一個 joint hypothesis 問題 —— 即為了檢驗市場有效性，首先要有一個合理的 asset pricing 模型；如果模型未知或者錯誤，就不能正確的評判任何異象是否真的是異象。這意味著，檢驗 EMH 的同時必須也要檢驗 asset pricing 模型。依照這個思路，如果趨勢因子（或者更傳統(tǒng)意義上的動量）是真實（但未知）asset pricing 模型的一部分，那么它獲取的超額收益就是某種風險的補償，而非市場異象。

4 趨勢因子是否來自數(shù)據(jù)挖掘

正如引言中所說的，我最初對趨勢因子持懷疑態(tài)度，認為它不可避免的存在數(shù)據(jù)挖掘的問題。與傳統(tǒng)的動量或反轉(zhuǎn)因子相比，該因子無論從模型復雜度或者參數(shù)復雜度都更高，因此數(shù)據(jù)挖掘的可能性也更大。針對這方面，Han et al. (2016) 從四個角度進行了闡述。首先，三位作者指出，構(gòu)建趨勢因子所使用的移動平均窗口長度并非優(yōu)化的結(jié)果，這些參數(shù)背后都有一定的業(yè)務邏輯。第二，如果把回測期按照每十年分成一個區(qū)間并觀測趨勢因子在這些區(qū)間內(nèi)的表現(xiàn)（下圖）會發(fā)現(xiàn)該因子獲得的收益非常穩(wěn)健。作者指出穩(wěn)健的表現(xiàn)說明該因子不太可能是數(shù)據(jù)挖掘的產(chǎn)物。

第三，Harvey et al. (2016) 針對“因子挖掘”界普遍存在的 multiple testing 問題，提出單一因子的 t-statistic 至少要超過 3 才有可能是一個真的異象。而趨勢因子的 t-statistic 高達 13.6（傳統(tǒng)動量因子的 t-statistic 為 6.04），遠超這一閾值。不過 Harvey et al. (2016) 自己也指出即便是這個閾值也非常保守。為此，Harvey and Liu (2018) 針對 multiple testing 的問題，提出了一個基于回歸的分析因子有效性的框架（見《出色不如走運(II)?》），在該框架下，傳統(tǒng)的動量因子已經(jīng)不再有效。因此，使用該框架來進一步檢驗趨勢因子是否有效可以作為一個未來的研究課題。

最后的第四個角度是 out of sample test，它無疑比前三個角度更具說服力。Han et al. (2016) 在其他 G7 國家（法國、英國、德國、意大利、加拿大、日本）的股市中檢驗了趨勢因子的有效性。在所有這些國家中均觀察到了來自趨勢因子的超額收益；除德國外，在其他國家中的月頻 CAPM-α 均高于 1%。雖然趨勢因子在這些國家中的表現(xiàn)沒有在美股上明顯，但無疑作為樣本外的數(shù)據(jù)集，這樣的結(jié)果支持了“趨勢因子并非數(shù)據(jù)挖掘的產(chǎn)物”這一觀點。

5 Fama-MacBeth Regression

除了上述四個角度的論述外，Han et al. (2016) 還進行了很多 robustness check 并通過考慮交易成本來檢查趨勢因子的有效性。本小節(jié)挑選這其中的 Fama-MacBeth regression（Fama and MacBeth 1973）進行介紹。Fama-MacBeth regression 的優(yōu)勢在于可以控制很多變量，從而考察目標變量在解釋股票預期收益率截面差異的顯著性。在 Fama-MacBeth regression 中，回歸方程左側(cè)的是個股的收益率，在右側(cè)的解釋變量中，除了常見的因子（如 log(size)、log(B/M)、E/P）外，還加入了 ER_{trd}^{12}、ER_{trd}^{6} 及 ER_{trd}^{60} 等使用不同尺度 MA 計算出來的預期收益率。

結(jié)果（上圖）顯示，當考慮了常見的因子后，被加入回歸的 ER_{trd}^{12}、ER_{trd}^{6} 或 ER_{trd}^{60} 依然對個股的截面預期收益率差異有非常顯著的解釋作用。

6 趨勢因子和信息不確定性

長久以來，技術分析和基本面分析是股票投資中的兩大派系，而移動平均是技術分析中的優(yōu)秀手段。因此，本文介紹的基于移動平均的趨勢因子也源自技術分析，是使用技術分析進行 asset pricing 的一種努力。當股票的（基本面）信息存在較高的不確定性時，投資者和交易者往往更傾向使用技術分析手段來選股。由此，Han et al. (2016) 提出了一個假設：在信息不確定性高的股票中（比在信息不確定性低的股票中）使用趨勢因子可獲得更高的收益。

為了驗證這一點，該文選擇了市值、特異性波動率、換手率、分析師覆蓋、公司年齡作為信息不確定的代理指標。具體來說，高的信息不確定性意味著公司市值小、特異性波動率大、換手率低、分析師覆蓋少、以及公司年齡短。Han et al. (2016) 將股票逐一使用這些代理指標以及趨勢因子進行 double sorting，然后考察趨勢因子的效果，結(jié)果如下圖所示（省略了 market size 這個指標）。以 IVol（特異性波動率）為例，對于 IVol 低的股票（信息不確定性低），趨勢因子的月頻收益率均值為 0.87% ，而對于 IVol 高的股票（信息不確定性高），趨勢因子的月頻收益率高達 2.25%。對于其他的信息不確定性代理指標，也都可以觀察到類似的結(jié)果，從而證實了“趨勢因子在信息不確定性高的股票中能獲得更高的收益”這一猜想。

7 結(jié)語

Han et al. (2016) 通過截面回歸將美股上的短期反轉(zhuǎn)、中期動量和長期反轉(zhuǎn)合并成一個新的趨勢因子。該因子能獲得顯著的超額收益，為美股的 asset pricing 提供了新的思路。除了本文介紹的內(nèi)容外，Han et al. (2016) 還包括更多的統(tǒng)計檢驗，給出了關于這個新的趨勢因子的大量實證結(jié)果。如果讓我來總結(jié)一下，這篇文中最重要的一點在于使用傳統(tǒng) SREV、MOM 以及 LREV 三個因子進行的 mean-variance spanning 無法解釋新的趨勢因子。這意味著，圍繞上述三因子暴露構(gòu)建的投資組合無法獲得基于這個單一趨勢因子所能獲得的超額收益。

為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象了？下圖 —— MA(20) 和 MA(100) 的回歸系數(shù)隨時間的變化 —— 給出了答案。這些回歸系數(shù)隨時間的變化意味著在構(gòu)建趨勢因子時，通過使用截面回歸，該趨勢因子動態(tài)的捕捉了不同時間尺度上的動量、反轉(zhuǎn)信號在預測股票收益率時的作用。

雖然無法完全排除數(shù)據(jù)挖掘的可能性，但不可否認該因子在不同歷史時期捕捉到了不同級別的動量、反轉(zhuǎn)信號。Han et al. (2016) 這篇文章的實證結(jié)果到 2014 年 12 月，在未來可以采用 2015 年開始的樣本外數(shù)據(jù)對其檢驗，考察其是否依然有效。趨勢追蹤策略面臨的最大難題通常是在哪種時間尺度上計算趨勢。趨勢往往很難穩(wěn)健的存在于固定的頻率。這個趨勢因子從一定程度上解決了這個問題。然而，它背后一個較強的經(jīng)驗數(shù)據(jù)依據(jù)是美股在歷史長河中確實存在顯著的短期反轉(zhuǎn)、中期動量和長期反轉(zhuǎn)。如果在未來，用于計算該因子的一個或者多個級別的移動均線不再有預測收益率的能力，那么該趨勢因子將會面臨新的挑戰(zhàn)。

參考文獻

Daniel, K. and T. J. Moskowitz (2016). Momentum crashes. Journal of Financial Economics 122(2), 221 – 247.

DeBondt, W. F. M. and R. Thaler. (1985). Does the stock market overreact? Journal of Finance 40(3), 793 – 805.

Fama, E. F. and J. D. MacBeth (1973). Risk, return, and equilibrium: Empirical tests. Journal of Political Economy 81(3), 607 – 636.

Fama, E. F. and K. R. French (1993). Common risk factors in the returns on stocks and bonds. Journal of Financial Economics 33(1), 3 – 56.

Han, Y., Zhou, G., Y. Zhu (2016). A trend factor: any economic gains from using information over investment horizons? Journal of Financial Economics 122(2), 352 – 375.

Harvey, C. R., Y. Liu, and H. Zhu (2016). … and the cross-section of expected returns. Review of Financial Studies 29(1), 5 – 68.

Harvey, C. R. and Y. Liu (2018). Lucky Factors. Working paper.

Huberman G. and S. Kandel (1987). Mean-variance spanning. Journal of Finance 42(4), 873 – 888.

Kan, R. and G. Zhou (2012). Tests of mean-variance spanning. Annals of Economics and Finance 13(1), 139 – 187.

Wang, J. (1993). A model of intertemporal asset prices under asymmetric information. Review of Economic Studies 60, 249 – 282.

Zhu, Y. and G. Zhou (2009). Technical analysis: an asset allocation perspective on the use of moving averages. Journal of Financial Economics 91(3), 519 – 544.

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