作者：石川

摘要：除了 Newey-West 調(diào)整，Barra 模型中同時(shí)還使用了 Eigenfactor 風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整和貝葉斯收縮來(lái)進(jìn)一步提高協(xié)方差矩陣的估計(jì)。本文介紹這兩種技巧。

1 引言

本文介紹一下 Barra 模型中關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)的兩處調(diào)整，它們都是 Barra 模型中的核心組成部分。在《正確理解 Barra 的純因子模型》中曾經(jīng)提到，Barra 的純因子模型沒(méi)有什么可投資性，但是它仍然有兩個(gè)重要的作用：

通過(guò)多因子模型，股票的超額收益被分解為被因子解釋的部分以及各自的特異性收益率：

在上式中?r?為 N × 1 維個(gè)股收益率向量（省略了時(shí)間下標(biāo)，假設(shè)有 N 支股票）、X?為當(dāng)期因子暴露矩陣（N × K 矩陣，K 為因子個(gè)數(shù)），f?為 K × 1 維因子收益率向量，u?為 N × 1 維個(gè)股特異性收益率向量。通過(guò)因子模型可知，個(gè)股收益率的協(xié)方差滿足如下關(guān)系：

其中?V（N × N）是股票收益率的協(xié)方差矩陣，V_f（K × K）是因子收益率的協(xié)方差矩陣，而?Δ?為 N × N 對(duì)角陣，其對(duì)角線上的元素對(duì)應(yīng)個(gè)股的特異性收益率的方差。 為了得到 V 的準(zhǔn)確估計(jì)，對(duì)于 V_f 和 Δ 的求解至關(guān)重要。在上一期《協(xié)方差矩陣的 Newey-West 調(diào)整》中，我們指出為了得到更準(zhǔn)確的估計(jì)，Barra 對(duì) V_f 和 Δ 都進(jìn)行了 Newey-West 調(diào)整。然而，Barra 對(duì)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的腳步并沒(méi)有止步于此。在 Newey-West 調(diào)整之后，它們對(duì)因子收益率的協(xié)方差矩陣 V_f 進(jìn)行了 Eigenfactor risk adjustment，并對(duì)個(gè)股的特異性收益率方差矩陣 Δ 進(jìn)行了Bayesian shrinkage（貝葉斯收縮）。本文就來(lái)對(duì)它們分別做簡(jiǎn)要介紹。在此之前，先讓我們了解另外一個(gè)概念：Bias statistic（偏差統(tǒng)計(jì)量），這是因?yàn)楸疚年P(guān)注的兩種調(diào)整都是以降低 Bias statistic 為目標(biāo)的。

2 偏差統(tǒng)計(jì)量

Bias statistic 是評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)模型準(zhǔn)確性的一個(gè)常用指標(biāo)（Menchero et al. 2011），它用來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)值和風(fēng)險(xiǎn)實(shí)際值（用已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率來(lái)評(píng)估）之間的誤差。如果這二者之間有顯著誤差，則我們說(shuō)這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)是有偏的，故這個(gè)統(tǒng)計(jì)量稱為偏差統(tǒng)計(jì)量。在數(shù)學(xué)上，偏差統(tǒng)計(jì)量的定義如下。令 R_{nt} 為某投資組合 n 在 t 期的收益率，σ_{nt} 是 t 期期初（beginning-of-period）的預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)。用 σ_{nt} 對(duì) R_{n_t} 進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得到：

上面這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化在數(shù)學(xué)上的含義是將 R_{nt} 的波動(dòng)率 —— 實(shí)際的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率 —— 使用期初預(yù)測(cè)的波動(dòng)率 σ_{nt} 進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。如果期初風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)是準(zhǔn)確的，那么 b_{nt} 的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該為 1。利用總共 T 期的 b_{nt} 計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差就得到 Barra 定義的偏差統(tǒng)計(jì)量 B_n：

在收益率符合正態(tài)分布的假設(shè)下，B_n 的 95% 的置信區(qū)間為：

可見(jiàn)，當(dāng)樣本個(gè)數(shù)足夠大（即 T 足夠大）的時(shí)候，偏差統(tǒng)計(jì)量 B_n 應(yīng)該離 1 不遠(yuǎn)。如果它離 1 不遠(yuǎn)則說(shuō)明我們?cè)谄诔醯娘L(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)值比較準(zhǔn)確，反之則意味著期初的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測(cè)值是有偏的，這時(shí)就需要修正。在上面的使用中，一個(gè)比較強(qiáng)的假設(shè)是收益率滿足正態(tài)分布。當(dāng)背離這條假設(shè)時(shí)，B_n 很有可能遠(yuǎn)離 1 而這卻并不意味著風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測(cè)是有偏的。在這方面，Barra 的 USE4 research note （Menchero et al. 2011）里面有更多的討論。在本文的最后，我們簡(jiǎn)單評(píng)論一下這個(gè)正態(tài)分布假設(shè)。好了，現(xiàn)在我們清楚了偏差統(tǒng)計(jì)量，馬上來(lái)看對(duì)協(xié)方差矩陣的 eigenfactor 風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整。

3 協(xié)方差矩陣的 Eigenfactor 風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整

Barra 的 USE4 模型中，在對(duì)因子收益率協(xié)方差矩陣進(jìn)行 Newey-West 調(diào)整之后，又進(jìn)行了 Eigenfactor 調(diào)整。關(guān)于這個(gè)調(diào)整介紹的最詳細(xì)的文獻(xiàn)是 Menchero, Wang, and Orr (2011)，這篇文章比 USE4 模型文檔中的介紹要更完整，我們就從它講起。本節(jié)的介紹偏重于解釋 Eigenfactor 調(diào)整的業(yè)務(wù)意義，會(huì)涉及少量必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，但是不會(huì)詳述所有的技術(shù)細(xì)節(jié)。這里請(qǐng)暫時(shí)忘記因子，因?yàn)樯厦孢@篇文章的研究的對(duì)象是個(gè)股超額收益的的協(xié)方差矩陣。超額收益是相對(duì)市場(chǎng)而言的，定義如下：

上式中，?r_{nt}?是股票 n 在交易日 t 的收益，R_t^M??是該日的市場(chǎng)收益，f_{nt}??是股票在 t 的超額收益。使用不同股票的超額收益序列，就能計(jì)算出樣本協(xié)方差矩陣：

這里?V_0?是協(xié)方差矩陣，而? V_0(mn)?代表這個(gè)矩陣中對(duì)應(yīng)的股票 m 和 n 之間的協(xié)方差。V_0 是樣本協(xié)方差矩陣，它只是未知總體的估計(jì)，它是無(wú)偏估計(jì)嗎？是否會(huì)在某些特定使用方法下有很大的偏差？這就是 Barra 關(guān)心的。為此采用第二節(jié)提到的 Bias statistic 來(lái)評(píng)估它是否是無(wú)偏的。他們首先檢查了個(gè)股和隨機(jī)選擇個(gè)股權(quán)重而構(gòu)建的投資組合，發(fā)現(xiàn)在這兩種情況下，Bias statistic 都離 1 不遠(yuǎn) —— very nice。

然而在現(xiàn)實(shí)中，我們并不是隨機(jī)的投資個(gè)股，所以上面的結(jié)論雖然不錯(cuò)但可惜是不夠的。現(xiàn)實(shí)中我們通常以某種目標(biāo)來(lái)優(yōu)化投資組合、確定股票在組合中的權(quán)重；比如使用馬科維茨 mean-variance optimization 框架得到的最優(yōu)組合。對(duì)于這些最優(yōu)化得到的投資組合，它們的 Bias statistic 怎樣呢？為了回答這個(gè)問(wèn)題，Eigenfactor 閃亮登場(chǎng)。假設(shè)樣本協(xié)方差矩陣?V_0?是滿秩的。使用它的所有特征向量構(gòu)建一個(gè)矩陣?U_0 —— 這個(gè)矩陣的每一列就是?V_0?的一個(gè)特征向量。利用線性代數(shù)的性質(zhì)，我們可以用?U_0?把?V_0?“旋轉(zhuǎn)”一下，變成一個(gè)對(duì)角陣：

這個(gè) D_0 是個(gè)對(duì)角陣，它對(duì)角線上的元素為和那些特征向量對(duì)應(yīng)的特征值。這其實(shí)是對(duì) V_0 進(jìn)行特征分解。這個(gè)變換的業(yè)務(wù)含義是什么呢？假設(shè)一共有 N 個(gè)股票，則每一個(gè)特征向量都是一個(gè) N × 1 的向量，它里面第 n 個(gè)數(shù)就代表這第 n 支股票的權(quán)重。以該特征向量中的數(shù)值作為權(quán)重就得到了一個(gè) eigenfactor portfolio（eigenfactor 一詞是 Barra 發(fā)明的，因?yàn)閬?lái)自特征向量 eigenvector）。由于一共有 N 個(gè)特征向量，所以有 N 個(gè) eigenfactor portfolios。更重要的是，這些投資組合之間相互獨(dú)立，協(xié)方差為 0，這在數(shù)學(xué)上體現(xiàn)在?D_0?是個(gè)對(duì)角陣。前面剛說(shuō)過(guò)，它對(duì)角線上的元素是 V_0 的特征值，而它們也是這些 eigenfactor portfolios 的方差。

那么這些 eigenfactor portfolios 的 Bias statistics 如何呢？是否接近 1 呢？很不幸，答案是否定的。下圖是按照 eigenfactor portfolios 的樣本方差從小到大順序?qū)⑦@些組合排列（橫坐標(biāo)），然后查看它們的 Bias statistics（縱坐標(biāo)）?？梢?jiàn)，這二者基本成反比 ——?當(dāng) eigenfactor 組合的樣本方差小時(shí)，它的 Bias statistics 非常大，說(shuō)明估計(jì)值非常不準(zhǔn)。

即便如此我們?nèi)匀粫?huì)問(wèn) —— 這 eigenfactor portfolios 在實(shí)際中有含義嗎？如果我們不按照特征向量中的權(quán)重來(lái)構(gòu)建投資組合，那么即便它們的 Bias statistics 偏離 1 對(duì)我們也沒(méi)有影響。不幸的是，它們有含義！這就是 Barra 考慮 eigenfactor 調(diào)整的原因。以下是 Barra 的原文：

Eigenfactors are not economically intuitive. However,?they do play an important role in portfolio optimization.?For instance, the first eigenfactor solves for the minimum variance portfolio subject to the constraint that the sum of squared weights adds up to 1. Similarly, the last eigenfactor solves the corresponding maximum variance problem.

它的意思是?eigenfactor portfolios 在投資組合的最優(yōu)化構(gòu)建中有很大的意義。比如，方差最小的 eigenfactor 組合就等價(jià)于我們以最小化組合方差為優(yōu)化目標(biāo)構(gòu)建的組合（這句話邏輯真完美……）；方差最大的 eigenfactor 組合就等價(jià)于我們以最大化方差為優(yōu)化目標(biāo)（不確定是否有人這么干……）而構(gòu)建的投資組合。在 Barra 看來(lái)，eigenfactor portfolios 和我們最終使用這些個(gè)股、以某種最優(yōu)化目標(biāo)來(lái)構(gòu)建的最優(yōu)投資組合有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。因此，如果這些 eigenfactor portfolios 的 Bias statistics 很差，那么我們可以預(yù)期，以某種目標(biāo)最優(yōu)化得到的投資組合的 Bias statistics 也好不到哪去（下圖是 Barra 給的模擬產(chǎn)生的最優(yōu)化組合的 Bias statistics 例子，都高達(dá) 1.4 以上）。

這就是為什么要對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行 eigenfactor 調(diào)整。讀到這里，細(xì)心的小伙伴可能會(huì)說(shuō)“你上面這都是個(gè)股協(xié)方差矩陣啊，但是 USE4 里面是因子協(xié)方差矩陣”。對(duì)因子協(xié)方差矩陣的 eigenfactor 調(diào)整的數(shù)學(xué)方法和上面完全一致。在 Menchero, Wang, and Orr (2011) 這篇文章的數(shù)學(xué)推導(dǎo)中，Barra 就說(shuō)了計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣的“assets”可以是 factors，大類資產(chǎn)以及個(gè)股：

因此從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，不管上面是個(gè)股協(xié)方差矩陣還是因子協(xié)方差矩陣，都沒(méi)問(wèn)題。從業(yè)務(wù)上來(lái)說(shuō)呢，同樣對(duì)因子協(xié)方差矩陣做“旋轉(zhuǎn)”。假設(shè)有 K 個(gè)因子（別忘了，這每一個(gè)因子代表著一個(gè)由個(gè)股構(gòu)建出來(lái)的純因子投資組合），因此得到 K 個(gè)特征向量。以特征向量為權(quán)重得到的 eigenfactor portfolios 恰好就是 K 個(gè)純因子投資組合的某種配置組合（組合的組合）。這句話本身就足以說(shuō)明 eigenfactor 風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的重要性了。我們分析因子的目的是為了針對(duì)這些純因子組合的風(fēng)險(xiǎn)收益特性進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化，從而把這些因子組合放在一起，得到一個(gè)多因子組合（即讓我們最終的投資組合暴露于多個(gè)優(yōu)異的 α 因子中）。然而，上面的分析指出，以純因子組合為輸入經(jīng)過(guò)優(yōu)化后得到的投資組合，它的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)是有偏的（Bias statistic 顯著不為 1，見(jiàn)下圖）。

因此，對(duì)因子的協(xié)方差矩陣做 eigenfactor risk 調(diào)整也是十分必要的。這就是 Barra 采取這個(gè)調(diào)整的原因。下圖比較了調(diào)整前（左圖）后（右圖）的 Bias statistics，效果顯著：

上面從業(yè)務(wù)邏輯的角度解釋了為什么 Barra 要對(duì)因子協(xié)方差矩陣進(jìn)行 eigenfactor risk 調(diào)整。在調(diào)整的具體的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)上面，其思想是 Bootstrap，請(qǐng)閱讀 Menchero, Wang, and Orr (2011) 或者是 USE4 模型的文檔，這里就不贅述了。不熟悉 Bootstrap 思想的小伙伴請(qǐng)參考《用 Bootstrap 進(jìn)行參數(shù)估計(jì)大有可為》。

4 特質(zhì)性收益率的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整

本節(jié)來(lái)解釋 Barra 對(duì)個(gè)股特異性收益率的風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整 —— 貝葉斯收縮。貝葉斯收縮是一個(gè)常見(jiàn)的將先驗(yàn)和樣本估計(jì)結(jié)合起來(lái)的手段；它是先驗(yàn)和樣本估計(jì)量的線性組合（見(jiàn)《收益率預(yù)測(cè)的貝葉斯收縮》）。對(duì)（協(xié)）方差矩陣進(jìn)行貝葉斯收縮并不是 Barra 的獨(dú)創(chuàng)，事實(shí)上 Ledoit and Wolf (2003) 就提出了這個(gè)思想，并取得了不錯(cuò)的效果。他們的方法也比下面要介紹的 Barra 的收縮方法（主要是在收縮強(qiáng)度系數(shù)的選取上）復(fù)雜的多，這個(gè)咱們以后再說(shuō)。

來(lái)看 Barra 的問(wèn)題。首先計(jì)算出個(gè)股的特異性波動(dòng)率，這是樣本估計(jì)量。但是，Barra 指出使用樣本內(nèi)數(shù)據(jù)計(jì)算出的特異性波動(dòng)率在樣本外的持續(xù)性很差。下圖中，所有股票按照特異性波動(dòng)率大小分成 10 檔（圖中第 1 檔代表波動(dòng)率最?。坏?10 檔代表波動(dòng)率最大），計(jì)算每檔的平均 Bias statistic?？梢钥吹?，對(duì)于波動(dòng)率小的檔，Bias statistic 顯著大于 1，說(shuō)明它低估了樣本外這些股票的特異性波動(dòng)率；而對(duì)于波動(dòng)率大的檔，Bias statistic 顯著小于 1，說(shuō)明它高估了這些股票在樣本外的特異性波動(dòng)率。

既然使用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)的不準(zhǔn)，那就需要使用先驗(yàn)來(lái)矯正一下。先驗(yàn)就是我們認(rèn)為正確的特異性波動(dòng)率，所以我們把樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來(lái)的特異性波動(dòng)率向著先驗(yàn)來(lái)靠攏，這就是“收縮”一詞的意思，這就是為什么這個(gè)技術(shù)較貝葉斯收縮。如何計(jì)算先驗(yàn)?zāi)?？?duì)于任意給定的個(gè)股，Barra 采用一大堆個(gè)股特異性收益的波動(dòng)率的均值作為先驗(yàn)。這個(gè)“一大堆”是什么呢？Barra 把所有個(gè)股按照市值分成十檔，然后找到我們目標(biāo)個(gè)股所在的市值那一檔，而這一檔中的所有股票就是這“一大堆”。

計(jì)算這一大堆中所有股票的特異性波動(dòng)率，取它們的平均。怎么取呢？不是簡(jiǎn)單的等權(quán)，而是按照市值加權(quán)的。這個(gè)使用和目標(biāo)股票處在同一市值這一檔所有股票（一大堆）按照市值權(quán)重計(jì)算出來(lái)的特異性波動(dòng)率就是先驗(yàn)。以 s_n 表示市值檔位 \hat σ_n 表示 s_n 中股票 n 的特異性收益率，w_n 表示 s_n 中股票 n 的按照其市值計(jì)算出來(lái)的權(quán)重。則這個(gè)先驗(yàn)的表達(dá)式為：

可見(jiàn)，先驗(yàn)就是把屬于 S_n 內(nèi)的所有股票的特異性波動(dòng)率按照它們的市值為權(quán)重平均起來(lái)。現(xiàn)在先驗(yàn)、樣本估計(jì)量都有了，最后一步就是把這二者線性組合在一起：

上式中等式左側(cè)就是收縮后股票 n 的最終特異性波動(dòng)率，等式右側(cè)的第一項(xiàng)中的?ν_n?是在收縮時(shí)賦予先驗(yàn)的權(quán)重（稱為收縮強(qiáng)度系數(shù)）。如何確定權(quán)重呢？它和樣本估計(jì)量與先驗(yàn)的偏離程度有關(guān)。具體的，ν_n?的表達(dá)式為：

上式中，q 是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)壓縮系數(shù)，?N(s_n)?是市值檔位 s_n?中股票的個(gè)數(shù)。這個(gè)表達(dá)式中的分子以及分母中的第二項(xiàng)的?|\hat σ_n - \bar σ(s_n)|?表示了我們股票 n 的樣本特異性波動(dòng)率和其先驗(yàn)之間的偏離程度；而上式分母中的第一項(xiàng)是市值檔位?s_n?中所有股票的特異性波動(dòng)率和其先驗(yàn)偏離程度的標(biāo)準(zhǔn)差，它是這一大堆股票的平均偏離程度的一個(gè)度量。最終的壓縮權(quán)重?ν_n?就由這兩個(gè)偏離程度（以及經(jīng)驗(yàn)系數(shù) q）決定：

在上面?ν_n?的表達(dá)式中，唯一剩下的就是要確定經(jīng)驗(yàn)系數(shù) q 了。Barra 沒(méi)有具體說(shuō)，但是不難想它一定和 Bias Statistic 有關(guān)。貝葉斯收縮的目的就是為了降低個(gè)股特異性波動(dòng)率的 Bias Statistic，所以可以通過(guò)綜合考慮所有個(gè)股特異性波動(dòng)率收縮前后 Bias statistic 的改進(jìn)來(lái)找到合適的 q 值。根據(jù) USE4 文檔中報(bào)告的結(jié)果，貝葉斯收縮效果顯著改善了各市值檔位內(nèi)個(gè)股的特異性波動(dòng)率（下圖）。

以上就是對(duì)特異性波動(dòng)率做的貝葉斯收縮。

5 結(jié)語(yǔ)

本文介紹了 Barra 對(duì)波動(dòng)率的兩種調(diào)整方法，它們都是以改善 Bias statistic 為目標(biāo)。而第二節(jié)曾指出，如果收益率不滿足正態(tài)分布，那么 Bias statistics 可能也是不準(zhǔn)的。既然存在收益率不滿足正態(tài)分布這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)，那么 Barra 仍將上述偏差統(tǒng)計(jì)量用于因子收益率協(xié)方差矩陣和個(gè)股特異性收益率方差的調(diào)整中，是否合理呢？先來(lái)說(shuō)說(shuō)因子收益率。對(duì)于每個(gè)因子，它的收益率是一攬子股票的加權(quán)收益率（權(quán)重是從模型中根據(jù)截面回歸來(lái)的），因此它是一個(gè)投資組合（純因子組合）的收益率。比起個(gè)股，投資組合的收益率應(yīng)該更加滿足正態(tài)分布的假設(shè)。再來(lái)看看個(gè)股的特異性收益率。在市場(chǎng)上流行的因子模型中，對(duì)因子解釋不了的殘差（即特異性收益率）通常做的假設(shè)大多是正態(tài)分布。所以，從這個(gè)意義上說(shuō)，似乎能理解 Barra 堅(jiān)持使用上述偏差統(tǒng)計(jì)量的原因。

在投資實(shí)務(wù)中，任何模型都需要假設(shè)、模型本身并無(wú)好壞。所以我們也不用把 Barra 的處理方法當(dāng)作唯一的、正確的答案。這僅僅是來(lái)自 Barra 的選擇 —— 我相信這背后自有它的道理和考量。有的小伙伴給我們留言，告訴我們國(guó)內(nèi)一些券商報(bào)告中有很多其他不錯(cuò)的評(píng)價(jià)協(xié)方差矩陣準(zhǔn)確性的方法。那些無(wú)疑也是值得我們學(xué)習(xí)和嘗試的。

參考文獻(xiàn)

Ledoit, O. and M. Wolf (2003). Improved estimation of the covariance matrix of stock returns with an application to portfolio selection. Journal of Empirical Finance 10, 603 – 621.

Menchero, J., D. J. Orr, and J. Wang (2011). The Barra US Equity Model (USE4). MSCI Barra Research Notes.

Menchero, J., J. Wang, and D. J. Orr (2011).?Eigen-adjusted Covariance Matrices.?MSCI Research Insight.

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