作者：石川

摘要：早期實證資產(chǎn)定價研究中存在不合理的稀疏性假設(shè)；新時代的資產(chǎn)定價研究需直面高維數(shù)挑戰(zhàn)。

1?特設(shè)稀疏性

下表列出了過去 30 年學(xué)術(shù)界針對股票市場提出的主流多因子模型。讓我從它們說起。

觀察這些模型，能夠發(fā)現(xiàn)它們的共同之處：每個模型都僅有非常少的因子（3 到 5 個）。如果把所有模型中非重復(fù)的因子（不考慮計算方法的差異）都列出來，這 7 個模型總共也就包含了市場、規(guī)模、價值、動量、盈利、投資、管理、表現(xiàn)、長周期行為以及短周期行為區(qū)區(qū) 10 個因子。它們傳遞出來的觀點是：從不同的動機出發(fā)，從這 10 個因子里選 3 到 5 個排列一下就能夠很好地解釋不同股票預(yù)期收益率的截面差異。真的如此嗎？

在過去 30 年中，實證資產(chǎn)定價的研究提出了成百上千個能夠預(yù)測收益率的變量。比如，[量化投資與機器學(xué)習(xí)]?公眾號整理的因子日歷介紹了其中典型的 300+ 個。雖然我們有理由對 factor zoo 充滿質(zhì)疑，但也無法認(rèn)可區(qū)區(qū) 10 個因子（甚至更少）能夠（很好地）解釋和預(yù)測資產(chǎn)的預(yù)期收益率。那么，為什么上述主流多因子模型均只包含了不超過 5 個因子呢？要知道，每個模型背后都有一個令人信服的動機（比如 DDM、行為金融學(xué)或者 q-theory），很難想象從如此動機推出的模型能夠包含太多的因子，否則便難以“自圓其說”。此外，當(dāng)變量太多的時候，portfolio sort 難以有效構(gòu)造 factor（比如 q-factor model 里面的三重排序已經(jīng)是極限了）。出于這些原因，學(xué)者們紛紛在多因子模型中加入了?ad-hoc sparsity（特設(shè)稀疏性）。這意味著每個人選擇幾個因子以及哪些因子，完全是因人（動機）而異的，沒有普適性可言（這正是 ad-hoc 的含義）。

然而另一方面，從模型的發(fā)展歷程來看，我們也能觀察出兩點：

1.?隨著越來越多的 anomalies 被挖出來，多因子模型中因子個數(shù)也基本上是隨時間遞增的，例如 FF3 到 q-factor model 到 FF5 —— 更多的因子才能解釋更多的 anomalies；

2.?哪怕因子的個數(shù)沒有顯著增加，但用來構(gòu)造因子的變量的個數(shù)也得到了提升，例如管理和表現(xiàn)兩個因子 —— 更多的變量能解釋更多的 anomalies。

這兩點說明，學(xué)術(shù)界逐漸意識到越來越多的（而非一只手?jǐn)?shù)得過來的）因子能夠幫助解釋股票預(yù)期收益率。從實證角度，我們再來看另一組佐證。Bryzgalova, Huang, and Julliard (2020) 通過貝葉斯統(tǒng)計研究發(fā)現(xiàn)，后驗概率最高的多因子模型中均包含了至少數(shù)十個因子。從后驗概率來看，上表中的這些模型離最優(yōu)差了“十萬八千里”。所有實證結(jié)果都表明，在多因子模型中強加稀疏性假設(shè)，從而把定價問題變成低維問題難言合理。希望通過若干 ad-hoc 因子來解釋股票預(yù)期收益率或者 span 出更大的夏普率平方，僅僅是一種稀疏性幻覺。雖然追求簡約模型本身并無不妥，但上述通過特設(shè)稀疏性假設(shè)提出的多因子模型絕非實證資產(chǎn)定價的未來。

2?稀疏性幻覺

近日，經(jīng)濟(jì)學(xué)五大頂刊之一?Econometrica?刊載了一篇文章 Giannone, Lenza, and Primiceri (2021)，研究了大數(shù)據(jù)時代經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域常見的六大類預(yù)測問題，而股票收益率的 cross-section 正是其中之一。該文的題目正是稀疏性幻覺（Economic predictions with big data: The illusion of sparsity）。該文通過兩個核心變量來控制模型納入?yún)f(xié)變量的概率（probability of inclusion）以及協(xié)變量參數(shù)被向先驗收縮的程度（degree of shrinkage）。后面這個很好理解。當(dāng)變量太多以后，shrinkage 是防止過擬合的有效手段。通過貝葉斯統(tǒng)計，該文給出了諸多非常有益的定量統(tǒng)計推斷。

首先，probability of inclusion 和 degree of shrinkage 正相關(guān)。這是符合預(yù)期的結(jié)果，即變量被納入的概率越高，收縮的程度也越高（從而防止過擬合）。其次，在五大類問題中（包括我們關(guān)心的截面資產(chǎn)定價），probability of inclusion 的取值暗示著稀疏性假設(shè)不成立。第三，模型存在巨大的不確定性，協(xié)變量之間存在不可忽視的共線性，一些協(xié)變量包含了相似的預(yù)測性信息。下圖展示了六個問題中每個協(xié)變量被納入模型的概率。我們關(guān)心的是標(biāo)記為 finance 2 的問題，它使用 144 個協(xié)變量預(yù)測資產(chǎn)收益率的截面差異。從圖中不難看出，每個變量都有一定的概率被納入模型。結(jié)合所有協(xié)變量的 overall probability of inclusion，可以進(jìn)一步得出的結(jié)論是，在絕大多數(shù)問題中，并沒有明顯的稀疏性模式，每個變量都有一定可能存在于真實的模型之中。

由于巨大的不確定性，為了提高預(yù)測結(jié)果，更好的做法是同時考慮多個包含不同組協(xié)變量的模型并取它們的平均。這個做法對應(yīng)著機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的 ensemble methods，比如 boosting、隨機森林。最后，Giannone, Lenza, and Primiceri (2021) 研究了上述發(fā)現(xiàn)對樣本外預(yù)測意味著什么。結(jié)論是稀疏性 + 忽視不確定性將造成可預(yù)測性的損失。摒棄稀疏性意味著使用更多的協(xié)變量，考慮不確定性則意味著取不同模型的平均。反觀本文第一節(jié)的那些多因子模型，恰恰同時占了稀疏性和忽視不確定性這兩條 —— 每個模型都僅考慮有限個且確定的（源自某個動機的）因子。

3?高維數(shù)下的研究挑戰(zhàn)

一旦知道了問題，就可以尋求正確的解決方法。既然稀疏性假設(shè)并不合理，那么正確的應(yīng)對就是直面協(xié)變量（即用來構(gòu)造因子的公司特征）的高維數(shù)問題。然而，如果在多因子模型 RHS 塞入太多解釋變量毫無疑問會對傳統(tǒng)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)帶來很大的挑戰(zhàn)。

在諸多挑戰(zhàn)中，如何防止過擬合正是其中之一（直接用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行 OLS 回歸注定不會在樣本外有好的結(jié)果）。在本文第二節(jié)曾提到 Giannone, Lenza, and Primiceri (2021) 的發(fā)現(xiàn)之一是 probability of inclusion 和 degree of shrinkage 正相關(guān)，即當(dāng)我們使用更多變量時，就需要對它們施以更高程度的正則化。Kozak, Nagel, and Santosh (2020) 的實證結(jié)果也支持這一觀點。假設(shè)使用 50 個重要的（且相關(guān)性較低的）公司特征構(gòu)造的 portfolios 來估計 SDF。為了獲得樣本外更好的預(yù)測結(jié)果，稀疏性和正則化應(yīng)該滿足怎樣的特性呢？下圖展示了 Kozak, Nagel, and Santosh (2020) 的發(fā)現(xiàn)。

在這個 heat-map 中，顏色越亮（越發(fā)黃）的區(qū)域?qū)?yīng)著越高的樣本外預(yù)測性。圖中的橫坐標(biāo)表示正則化的強度（數(shù)值越低強度越高）；縱坐標(biāo)表示有效協(xié)變量的個數(shù)（對數(shù)軸）。結(jié)果清晰地顯示出，如果想取得樣本外更好的預(yù)測結(jié)果，模型需要滿足以下兩點：

1.?包含足夠多的協(xié)變量（即稀疏性假設(shè)不成立）；

2.?施加必要的正則化。

上述結(jié)果和 Giannone, Lenza, and Primiceri (2021) 的結(jié)論一致。該實證證據(jù)是否意味著學(xué)術(shù)界尋找簡約多因子模型的執(zhí)著也是枉然呢？答案也并不是否定的。當(dāng)然，在關(guān)于稀疏性假設(shè)不成立的如此廣泛的實證證據(jù)下，我們不應(yīng)再指望人為指定有限個公司特征來構(gòu)造模型，但是通過統(tǒng)計手段依然可以在不損失預(yù)測信息的前提下構(gòu)造簡約模型。PCA 就是方法之一。

回到上面的例子，對 50 個公司特征 portfolios 做 PCA 得到 50 個主成分（PC portfolios），并用它們代替原始 portfolios 來估計 SDF。下圖展示了樣本外預(yù)測性的實證結(jié)果。從結(jié)果可以看出，此時我們依然需要必要的正則化，但是和前面的結(jié)果相比，圖中亮黃色的區(qū)域覆蓋了僅有少數(shù)有效變量的情況。這意味著，只需要通過有限幾個主成分就能夠獲得足夠的樣本外預(yù)測性，因而實現(xiàn)了模型的簡約性。

這一結(jié)果和 Kelly, Pruitt, and Su (2019) 的工具變量 PCA 不謀而合。該文對比了 IPCA 因子和 FF5 + MOM 六因子模型。無論是 span 出來的最大夏普率平方，還是非條件或條件定價誤差，IPCA 多因子模型都遠(yuǎn)勝 FF5 + MOM 六因子模型。PCA 的成功可以歸結(jié)為兩點：（1）Kozak, Nagel, and Santosh (2018)?指出能夠解釋截面預(yù)期收益率差異的因子必須和資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣密切相關(guān) —— 這為近幾年來基于 PCA 方法的研究奠定了堅實的基礎(chǔ)；（2）PCA 有效的將大量公司特征代表的預(yù)測性信息降維到有限幾個因子之中（而非出于某種動機人為的選擇幾個變量）。這兩點缺一不可。

本節(jié)的討論說明，未來的實證資產(chǎn)定價應(yīng)放棄稀疏性幻覺，并致力于解決如何從大量潛在高度相關(guān)但卻都對預(yù)測收益率有幫助的協(xié)變量之中提取預(yù)測性信息，以期使得投資組合在樣本外獲得更優(yōu)異的風(fēng)險收益特征。這正是高維數(shù)下的研究挑戰(zhàn)。在這方面，機器學(xué)習(xí)算法也許比傳統(tǒng)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)手段更有前景。Giglio, Kelly, and Xiu (2021) 梳理了近年來機器學(xué)習(xí)、資產(chǎn)定價以及因子模型方面的進(jìn)展，勾勒了研究的藍(lán)圖。

然而有必要指出的是，off-the-shelf 機器學(xué)習(xí)算法本身不太可能在金融領(lǐng)域取得成功；在使用機器學(xué)習(xí)算法的過程中，通過必要的手段注入金融學(xué)先驗對于其發(fā)揮最大作用至關(guān)重要。（明年公眾號將會介紹更多這方面的前沿進(jìn)展。）此外，在高維環(huán)境中，由于 investor high-dimensional learning 引入的樣本內(nèi)虛假可預(yù)測性也是需要在研究中面對和解決的難題（Martin and Nagel 2021）。

最后，讓我以 Giannone, Lenza, and Primiceri (2021) 的結(jié)論結(jié)束本文。

In economics, there is no theoretical argument suggesting that predictive models should in general include only a handful of predictors. … The empirical support for low-dimensional models is generally weak. Even when it appears stronger, economic data are not informative enough to uniquely identify the relevant predictors when a large pool of variables is available to the researcher.

參考文獻(xiàn)

• Bryzgalova, S., J. Huang, and C. Julliard (2020). Bayesian solutions for the factor zoo: We just run two quadrillion models. Working paper.

• Giannone, D., M. Lenza, and G. E. Primiceri (2021). Economic predictions with big data: The illusion of sparsity.?Econometrica?89(5), 2409 – 2437.
  

• Giglio, S., B. T. Kelly, and D. Xiu (2021). Factor models, machine learning, and asset pricing. Working paper.
  

• Kelly, B. T., S. Pruitt, and Y. Su (2019). Characteristics are covariances: A unified model of risk and return.?Journal of Financial Economics?134(3), 501 – 524.
  

• Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2018). Interpreting factor models.?Journal of Finance?73(3), 1183 – 1223.
  

• Kozak, S., S. Nagel, and S. Santosh (2020). Shrinking the cross-section.?Journal of Financial Economics?135(2), 271 – 292.
  

• Martin, I. and S. Nagel (2021). Market efficiency in?the age of big data.?Journal of Financial Economics?forthcoming.
  

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